Кут-шоу

Вивчення геометрії в середній школі починається з метрії, з науки про плоскі фігури. Насправді сучасний шкільний курс не далеко пішов від знаменитих почав Євкліда. За кілька років школярів знайомлять з поняттям точок, прямих, трикутників і окружностей, вони вчаться проводити побудову за допомогою циркуля і лінійки. Всі ці завдання прийнято відносити до елементарної математики. Але «елементарна» в даному випадку зовсім не означає «проста», і це добре видно хоча б на прикладі понять довжини і площі.

По ходу навчання в геометрії з'являється поняття довжини відрізка. Воно, звичайно, не зовсім елементарне, оскільки вимагає наявності не просто прямої, а прямої числової, тобто прямої, де кожній точці приписано якесь число. А це ніби математичний аналіз. Але все одно, не дуже страшно. Набагато гірше, звичайно, коли намагаються пояснити поняття довжини кола. Скажімо з відрізками ясно, а окружність-то крива. Як тут бути?

Ілюстрація: Аня Савченко

Для визначення довжини кола доводиться залучати поняття межі. А саме, насправді спочатку визначається поняття довжини ламаної: ми вважаємо довжину як суму довжин всіх ланок, кожну з яких відрізок (довжини відрізків-то ми точно вважати вміємо). Тепер беремо коло, розбиваємо його на N рівних частин і дивимося довжину вписаного в окружність правильного N-вугільника. Тепер починаємо збільшувати N. При цьому довжиною кола ми називаємо граничне значення довжин таких ламаних. Легко зрозуміти що воно буде 2πR.

Тепер давайте візьмемо інший клас ламаних. Розгляньмо описаний біля кола квадрат. Будемо розбивати точками окружність на рівні шматки так, щоб точки торкання сторін квадрата і кола входили в це розбиття. Точок у цьому випадку буде 4N. З'єднувати тепер точки будемо не відрізками, а сходинками: спочатку проведемо відрізок по горизонталі так, щоб його кінець опинився прямо над другою точкою. А потім опустимо вертикаль з кута сходинки в другу точку.

З кожним кроком розміри сходинок будуть зменшуватися, і здається, що в межі вони дадуть нам довжину кола. Однак, якщо ми складемо всі горизонтальні відрізки в нашій ламаній і всі вертикальні, то для будь-якого розбиття отримаємо 8R, де R - радіус кола. Штука в тому, що в першому випадку (з вписаним багатокутником) межа визначена коректно. А в другій межа теж є, але, як кажуть математики, в іншій метриці. У ній (вона відома ще як метрика міських кварталів) довжина окружності дійсно буде 8R.

Ілюстрація: Аня Савченко

Як би там не було, приклад ілюструє, що визначення довжини чогось відмінного від відрізка вже є нетривіальним завданням. Але з відрізками, підкреслю, вдається обійтися майже елементарними речами. Тепер згадаємо, що крім відстані є ще й площа. Інтуїтивно зрозуміло, що тут все ще складніше, ніж з довжиною - чесне визначення площі вимагає залучення не тільки поняття межі, але і кратних інтегралів. Але що, якщо як у випадку з відрізками, для якихось простих фігур - скажімо, багатокутників, нам достатньо буде елементарних понять?

Для цього ми залучимо ось таке просто міркування. Скажімо, у нас є кілька багатокутників. Ми точно знаємо, що, склеївши їх по краях одним способом, ми отримаємо один багатокутник, а іншим - інший. Логічно, що в обох випадках площа кінцевого продукту склейки дорівнюватиме площі складових його частин. Ну, зокрема, площі багатокутників будуть рівні. А чи вірне протилежне? Тобто, якщо по-чесному визначити поняття площі, чи вірно, що рівновеликість (тобто рівна площа) спричинить рівноскладеність (тобто багатокутники можна буде розрізати на однакові набори, наприклад, трикутників)?

Ілюстрація: Аня Савченко