Крива дракона: фрактал з паперу

Звичка м'яти, грудкати і рвати папір в хвилини нервового стресу або коли не дають спокою тяжкі думки про метушню, властиву багатьом людям. Чому нас так тягне до насильства над великим китайським винаходом, нехай пояснять психологи.

Ми ж трохи поговоримо про те, як наші комкальні пориви звернути на користь - трохи відволіктися, потренувати терпіння і збагатити себе малою крихтою знання.

Про фракталів - самопідібних фігур - «ПМ» писала в березневому номері за цей рік. У статті «Краса повтору» йшлося переважно про теорію фракталів, у тексті навіть миготіли формули, що в нашому науково-популярному журналі подія досить нечаста. Але цього разу ми спробуємо обійтися без математики і покажемо, як до пізнання таємниці фракталів можна підійти за допомогою невеликого експерименту, для якого не буде потрібно нічого, крім паперу, ну і, можливо, ножиць.

Ігри вчених

«Крива дракона» була придумана серйозними людьми - фізиками, співробітниками NASA Дж. Хайвеєм, Б. Бенксом і У. Хартером. На честь першовідкривачів цей фрактал іноді називають «Драконом Хайвея-Хартера», Бенкса чомусь забули.

Отже, візьмемо шматок паперової стрічки (наприклад, відріжемо вузьку смужку паперу від довгого боку аркуша А4) і почнемо складати навпіл, потім ще раз навпіл і ще. Щоб отримати більш-менш наочний результат, доведеться обмежитися чотирма складаннями - стрічка наша занадто коротка. Так, і найголовніше - складати її доведеться за певним правилом: смужку згинати завжди в одному і тому ж напрямку. Етапи згину показано на рис. 1 і 2.

Тепер розігнемо стрічку так, щоб у місцях згинів утворився кут 90 градусів, і розкладемо стрічку на столі. Ось перед нами і з'явився фрактал під назвою «Крива дракона». Якщо подивитися на стрічку зверху, ми побачимо щось на зразок змійки з доісторичних комп'ютерних ігор, але на дракона створений нами твір явно не тягне. Звідки ж взялося таке звучне ім'я? Виявляється, якщо папір продовжувати згинати, то з кожним кроком візерунок буде ставати все химернішим і химернішим. Наприклад, після десятого згину у нас має вийти те, що зображено на малюнку над заголовком статті. Тут схожість з драконами, як їх малювали в Стародавньому Китаї, вже досить очевидна. Звичайно, створенням «Кривої дракона» керує нескладний алгоритм, так що побудувати цей фрактал на комп'ютері можна за допомогою короткої програми. І коли комп'ютер «зігне» віртуальну стрічку десятки і сотні разів, перед нами відкриються справжні краси, зображення яких легко знайти в інтернеті.

Крок за кроком

На схемі ліворуч показано, як відбуваються три перших додавання паперової стрічки. На картинці внизу - барвиста комп'ютерна емуляція фракталу «у всій красі».

Але ми все-таки повернемося до паперу. Кількість згинів можна, звичайно, збільшити, взявши стрічку справжніше, а папір потоньше. Однак фізичні властивості матеріалу при такому методі не дозволять нам піти далеко. Папір, як відомо, скласти більше семи разів практично неможливо, до того ж відрізки ламаної лінії при збільшенні кількості згинів почнуть виходити нерівної довжини, що зіпсує все естетичне враження.

«Обхитрити» матеріал можна, вивчивши той самий нескладний алгоритм побудови «Кривий дракона». А виглядає він так. Уявімо собі, що ми дивимося на нашу стрічку зверху і вона має для нас вигляд прямої лінії. Нехай при першому згині ми складемо стрічку вліво. Тоді за наступного кроку стрічка складатиметься за правилом «лівий поворот - лівий поворот - правий поворот» (ЛЛП). Третя ітерація - ЛЛПЛЛПП. Як тепер визначити, що станеться зі стрічкою при четвертому згині? Правило просте, але заплутатися дуже легко, так що знадобляться терпіння і уважність. Отже, кожна наступна формула починатиметься з попередньої, далі ми вставляємо значення першого повороту (в нашому випадку це «Л») і - тепер увага! - знову додаємо формулу попереднього кроку, але, по-перше, переписуємо її задом наперед, а по-друге, міняємо в ній «П» на «Л» і «Л» на «П». Якщо всі дії виконані правильно, для четвертого згину отримуємо ЛЛПЛЛППЛЛЛППЛПП. Вирахувати формулу хоч 5-го, хоч 12-го згину тепер зовсім нескладно... для комп'ютера. Людині ж головне - не заплутатися. Однак, знаючи, як саме чергуються згини, можна обійтися без одночасного складання всієї стрічки, а розмітити її на рівні відрізки і позначити напрямки поворотів. А можна побудувати «Криву дракона» просто з окремих шматочків стрічки або розклавши на підлозі або на столі продовгуваті елементи якогось конструктора типу LEGO. Чим не тренування на уважність і просторову уяву! Для наших читачів або їх улюблених чад шкільного віку.

Лихі повороти

«Крива дракона» після четвертого додавання. На схемі показано, як можна розмітити напрямки згинів на стрічці.