42 нарешті розклали на три куби

Число 42 відомо не тільки тим, що є відповіддю на «Головне питання життя, всесвіту і всього такого», але також тим, що було останнім натуральним числом менше 100, яке не вдавалося розкласти в суму трьох кубів. Тепер це питання вирішене, оскільки математики Ендрю Букер і Ендрю Сазерленд знайшли потрібний вираз: 42 = (-80538738812075974) 3 + 8043575814581751⁵3 + 126021232973356313, рішення опубліковане на сторінці одного з математиків (у коді сторінки є посилання на його роботи, а з сайту факультету математики на особисту сторінку веде пряме посилання).

Рівняння, невідомими в яких можуть бути тільки цілі числа, в математиці називають діофантовими - на ім'я давньогрецького мислителя, який займався ними. Незважаючи на уявну простоту і доступність для розуміння навіть учневі середньої школи, діофантові рівняння можуть бути виключно важкими для вирішення.

Найвідомішим діофантовим рівнянням, безумовно, є Велика теорема Ферма xn + yⁿ = zⁿ для цілих n > 2. Це твердження довів у 1994 році Ендрю Вайлс через понад 350 років після оригінального формулювання. Доказ використовує методи аж ніяк не елементарної математики і займає понад 100 сторінок.

Одним з відкритих завдань в області діофантових рівнянь є розкладання натуральних чисел в суму трьох кубів цілих, тобто рішення рівняння виду k = x³ + y³ + z³ для різних k. Відомо, що для k, що дають при поділі на 9 в залишку 4 або 5, подібних розкладів бути не може, тому вони виключаються з розгляду. Гіпотезою є те, що всі інші k можна розкласти в таку суму.

Цікавою особливістю даного завдання є чергування дуже простих рішень і надзвичайно складних. Наприклад, для k = 29 існує очевидне рішення x = 3, y = z = 1, тоді як для k = 30 рішення досягається лише при гігантських значеннях x = 3982933876681, y = -636600549515 і z = -3977505554546.

Протягом другої половини XX століття розкладання в суму трьох кубів були знайдені майже для всіх шуканих чисел менше 100. Зокрема, в 60-ті були знайдені розкладання для 87, 96, 91 і 80, потім для 39, 75 і 84, потім для 30, 52 і 74. До 2019 року залишалося лише два числа: 33 і 42. Для 33 рішення було знайдено Ендрю Букером (Andrew Booker) з Брістольського університету навесні цього року.

Тепер разом з Ендрю Сазерлендом (Andrew Sutherland) з Массачусетського технологічного інституту Букер знайшов рішення і для числа 42. Його розкладання виглядає наступним чином: 42 = (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³. Перевірити правильність цього виразу за допомогою звичайних калькуляторів може бути важко, але можна скористатися обчисленнями онлайн за допомогою Wolf^ Alpha.

Тепер найменшим числом, не розкладеним на три куби, стало 114. Серед чисел менших тисячі таких чисел, до речі, теж залишається не дуже багато: 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921 і 975.

Доказ Великої теореми Ферма дуже повчальний - ми розповідали про деякі пов'язані з ним цікаві факти в матеріалі «Кому поля не тиснуть».