Квантовий квадрат Ейлера допоможе скоригувати помилки в квантових обчисленнях

Математики повідомили про знаходження квантового квадрата Ейлера шостого порядку, у якого не існує класичного аналога. Отримане рішення виявилося еквівалентно максимально заплутаному стану чотирьох квантових гральних кісток, яке неможливо було б виявити традиційними методами. Результат роботи допоможе поліпшити методи корекції помилок при квантових обчисленнях. Дослідження опубліковано в.

Латинським квадратом називають квадратну матрицю, заповнену елементами деякої рахункової безлічі таким чином, щоб у кожному її рядку і кожному стовпчику кожен елемент безлічі зустрічався тільки один раз. Найбільш відомим латинським квадратом можна назвати квадрат 3 ст.13, який необхідно заповнити натуральними числами, граючи в судоку. Латинські квадрати знайшли застосування в комбінаториці, статистиці, криптографії та багатьох інших наукових розділах.

Їх можна ускладнити, поміщаючи в комірки елементи не одного, а двох різних безліч (у цьому випадку ще говорять про пару ортогональних латинських квадратів). Такі об'єкти носять назву греко-латинських квадратів або квадратів Ейлера на честь знаменитого математика, який активно їх вивчав. Для невеликих розмірів такі структури можна представити за допомогою гральних карт, які слід розмістити таким чином, щоб всі масті і карти всіх достоїнств зустрічалися в кожному рядку і в кожному стовпчику рівно один раз. Ейлер не знайшов греко-латинських квадратів 2 ст.12 і 6 ст.16, але зміг побудувати їх для 3, 4 і 5 порядків. Він також висловив гіпотезу, згідно з якою не існує таких квадратів близько = 4 + 2, де - натуральне число. Для квадратів 6 ст.16 цю гіпотезу аналітично підтвердив Террі в 1901 році, проте через майже 60 років за допомогою комп'ютерів були знайдені греко-латинські квадрати 10 і 22 порядків, що спростувало припущення Ейлера.

Теорія латинських квадратів знову зацікавила математиків у зв'язку з поширенням квантової інформатики. У квантових варіантах квадратів у комірках розташовані не окремі елементи безліч, а вектори гільбертових просторів, що описують їх квантову суперпозицію. У цьому випадку умова нерівності всіх членів ряду або рядка замінюється на умову ортогональності всіх векторів. На базі цієї ідеї нещодавно була запропонована квантова версія судоку.

Група математиків з Індії та Польщі за участю Кароля Жичковського (Karol ^ yczkowski) продовжила роботу в цьому напрямку і отримали рішення для квантового ейлерового квадрата 6 ст.16. Це рішення математично еквівалентно не спостерігалося раніше абсолютно максимально заплутаному стану чотирьох шестирівневих кудітів, яке вкрай корисне для квантової корекції помилок у квантових комп'ютерах.

Заплутаними вважаються такі стани складової квантової системи, які не можуть бути представлені у вигляді твору станів її окремих частин. Якщо всі частини попарно між собою заплутані максимально можливим чином, фізики говорять про абсолютно максимально заплутаний (absolutely maximally entangled, AME) стан всієї системи. Такі стани важливі для низки практичних програм, особливо для коригування помилок у квантових обчисленнях, оскільки при їх використанні можна знайти помилку меншим числом вимірювань.

Дослідники активно шукають AME-стану для системи з різного числа частинок, що володіють різною кількістю рівнів (кудитів). Примітно, що для чотирьох кудітів такі стани були знайдені в безлічі випадків крім випадку з шістьма рівнями (його позначають AME (4,6)). Якщо дворівневий кудит - кубіт - можна уявити собі як квантове узагальнення монетки, то шестирівневий (автори назвали його кугексом) - як узагальнення гральної кістки.

Виявилося, що чотири кугекси можна описати тією ж математикою, що і пару квантових латинських квадратів шостого порядку. Дійсно, кожен елемент подвійного квадрата з координатами, буде містити в собі амплітуди -го елемента першої безлічі (гідності карти) і -го елемента другої безлічі (масть карти). Однак точно також виглядає зв'язок між однією парою двох кугексів в стані і з іншою парою в стані і. Знайшовши рішення для квантового квадрата Ейлера, математики виявили, що відповідний чотирикугексний стан - абсолютно максимально заплутаний.

Щоб його знайти, автори стартували з класичної конфігурації квадрата, яка лише злегка не задовольняє умови (деякі масті і гідності повторюються), а потім застосували до нього пошуковий алгоритм, який шукав рішення для кожної комірки у вигляді простих унітарних матриць 2 ст.12. Цього виявилося достатньо: кожен вектор у квадраті пов'язує не більше двох сусідніх мастей і достоїнств. Більш того, алгоритм показав, що існує всього три різні числові амплітуди, пов'язані законом Піфагора для сторін прямокутного трикутника, причому амплітуди катетів співвідносяться один з одним через золотий переріз. Тому відповідний AME-стан математики назвали золотим.

Виявилося також, що виявлений AME (4,6) - стан не може бути отриманий ніякою комбінацією вже відомих стабілізаторів - кодів квантової корекції помилок. Іншими словами, автори знайшли новий спосіб пошуку таких максимально заплутаних станів, що в майбутньому може допомогти поліпшити стійкість квантових алгоритмів. Крім того, залишається відкритим питання про єдність їх вирішення.

Вчені постійно покращують методи квантової корекції помилок. Нещодавно ми розповідали про розробку коду корекції помилок у квантових обчисленнях, який працює при вдвічі більшому рівні шуму, ніж його попередник.