Нейромережа на порядки прискорила вирішення завдання трьох тіл

Вчені використовували глибоке навчання нейромереж для передбачення результату гравітаційної взаємодії трьох тіл. Випробувана методика виявилася швидшою за традиційні способи вирішення до 100 мільйонів разів. Для початку автори обмежили простір початкових параметрів, але планують вивчити завдання і в загальному випадку, йдеться в препринті на arXiv.org.

Завдання трьох тіл полягає в пошуку координат і швидкостей трьох матеріальних точок у довільний момент часу при заданих початкових умовах та врахуванні лише гравітаційної взаємодії. Це завдання описав Ісаак Ньютон ще наприкінці XVII століття, але, незважаючи на простоту формулювання, це завдання виявляється виключно складним для вирішення через прояви хаотичної динаміки.

Зазвичай обговорюють так зване обмежене завдання трьох тіл, коли початкові параметри дозволяють знехтувати деякими впливами. Наприклад, якщо маса одного з тіл значно менша, ніж у інших, то тяжіння великих тіл до легені можна прирівняти до нуля - в такому випадку можна аналітично вирахувати рух тіл у майбутньому.

Існує вирішення завдання трьох тіл у загальному випадку, знайдене фінським вченим Карлом Зундманом, але воно малопримінне на практиці, оскільки виражається у вигляді ряду з дуже повільною схожістю. Внаслідок властивостей цього рішення для отримання відповіді з прийнятною точністю необхідно провести підсумовування занадто великої кількості доданків, що не під силу навіть сучасним комп'ютерам.

У результаті фактично єдиним використовуваним методом рішення є чисельне інтегрування, тобто ітеративне вирішення завдання у вигляді послідовності невеликих зміщень тел. Однак такий спосіб також дуже ресурсоємок для обчислень з високою точністю, а загальна кількість необхідного на отримання відповіді часу заздалегідь невідома.

З практичної точки зору завдання трьох тіл володіла історичною значимістю для мореплавства до середини XIX століття - до появи досить точних суднових хронометрів довготу часто визначали за зміщенням Місяця, але для цього треба було обчислювати її положення в майбутньому. Сьогодні вирішення цього завдання допомогло б оцінити ймовірність близьких проходжень в областях з високою концентрацією астрономічних об'єктів, таких як галактичні ядра і шарові скупчення.

У роботі астрономів з Великобританії, Португалії та Нідерландів за участю Філіпа Бріна (Philip Breen) з Единбурзького університету описано новий метод знаходження рішень завдання трьох тіл за допомогою нейромереж. Вчені тренували програму методом глибокого навчання, але для початку обмежили простір початкових параметрів. В результаті нейромережа змогла за час порядку мілісекунди передбачати положення тіл, в той час як сучасний чисельний алгоритм Brutus витрачав на це, як правило, в 10 тисяч разів більше часу, а іноді відставав в 10 мільйонів разів.

Навчальна вибірка була сформована з рішень завдання алгоритмом Brutus. Розглядалися тільки початкові умови з трьома тілами однакових мас, симетричним розташуванням і нульовими початковими швидкостями. У такому випадку траєкторії об'єктів лежатимуть в одній площині, кількість початкових параметрів знижується до двох, а положення тіл у наступні моменти часу можна описати трьома числами. Тренувальна вибірка складалася з 9900 симуляцій, а тестова - зі 100.

Вчені використовували багатошарову нейронну мережу прямого поширення (feed-forward ANN) з 10 прихованими шарами і 128 вузлами. Функція втрат, в якості якої автори використовували середню абсолютну помилку, виявилася менше 0,1. Також дослідники додатково перевірили роботу нейромережі на 5000 нових симуляцій, що відрізнялися невеликою зміною в початкових параметрах, в яких програма продемонструвала чутливість до початкових координат, тобто правильно відображала хаотичну динаміку системи.

Додатковим тестом роботи нейромережі була оцінка енергії руху тел. У вихідному варіанті точність була невелика: як правило, перебувала на рівні 10^-2, але при близьких проходженнях могла збільшуватися до 10. Тим не менш, використання додаткової нейромережі, натренованої оцінювати тільки швидкості тіл, дозволило зменшити помилку енергії до 10^-5.

Автори відзначають, що результати показують потенціал нейромереж в області вирішення завдання трьох тел. Тим не менш, вони пропонують не повністю відмовитися від чисельного інтегрування, а використовувати гібридний підхід, в якому нейромережа буде застосовуватися тільки для традиційних методів. Також вчені зазначають, що необхідно проводити навчання на більш широкій вибірці, що включає максимально великий обсяг простору параметрів. Більш того, вони сподіваються в майбутньому застосувати такий підхід для вирішення ще більш трудомістких завдань чотирьох і п'яти тіл.

Нещодавно китайські вчені виявили в іншому варіанті обмеженого завдання трьох тіл більше шестисот періодичних траєкторій. Ми склали галерею з траєкторіями, які здалися нам найбільш красивими.