Замки з піску

Природні арки, колонади, застиглі в дивному положенні каміння та інші екзотичні природні монументи з піщаника завжди привертали увагу людей. Їх незвичайна форма залишає враження швидше добре продуманої інженерної конструкції, ніж результату природного процесу. Тим не менш, ці форми виникають під впливом двох сил - тиску та ерозії. Математики зі Сколтеха вирішили змоделювати ці процеси на прикладі відомих будівель і записали результати на відео.

Вченим було зрозуміло, що ці химерні конструкції виникають в результаті скульптурної роботи води і вітру, але до останнього часу було неясно, чому в результаті виникають такі нетривіальні форми. У 2014 році група чеських вчених під керівництвом Іржі Брутанса (Jiri Bruthans) припустила, що справа в негативному зворотному зв'язку, який виникає між тиском і ерозією. Інакше кажучи, чим більший тиск відчувають частинки всередині шматка пісковика, тим менше швидкість ерозії, і навпаки - чим менше тиск, тим швидше руйнується цей шматок.

Ми стикаємося з цим явищем щовесни, коли бачимо, що потоптаний сніг на стежках зникає значно пізніше, ніж замети обабіч від неї. Брутанс і його колеги провели серію експериментів, розмиваючи масиви спресованих частинок водою, і їм вдалося отримати форми, дуже схожі на природні колонади і арки.

Вчені зі Сколтеха, Ігор Останін, Олександр Сафонов та Іван Оселедець, розробили математичну модель цього процесу і описали її в статті, опублікованій в журналі.

Як виявилося, для моделювання ерозії пісковика дуже добре підходять методи, які застосовуються в топологічній оптимізації конструкцій - тобто в тих випадках, коли потрібно полегшити конструкцію, прибравши з неї зайвий матеріал, але зберігши міцність.

Ми розбивали область на елементи, при цьому кожному елементу присвоювалася величина, що змінюється від 0 до 1, при цьому 1 відповідала незруйнованому матеріалу (і максимальній міцності), пояснює Олександр Сафонов. В результаті першими «вивітрювалися» елементи в зонах з мінімальним тиском, тобто на кордонах або в місцях, які опинялися під «арками».

На прохання Олександр Сафонов продемонстрував роботу його алгоритму на прикладі відомих будівель. На відео нижче показано, як саме йшла б ерозія, якби ці будови складалися з піщаника. Кожне з них було «зібрано» з кінцевих елементів - від 76 тисяч до 490 тисяч. В останньому випадку час розрахунку для моделі склав близько 35 годин. «Потрібно додати, що це алгоритм для матеріалів, які вивітрюються (наприклад, піщаник), і алгоритм тільки пророкує можливу форму, але не тривалість процесу», - сказав учений.

Різними кольорами на відео показані значення тиску, помаранчевий відповідає максимальному тиску, темно-синій - мінімальному.

Так буде руйнуватися Біг-Бен:

.

Колізей у Римі:

Ейфелева вежа:

Статуя Свободи:

Головна будівля МДУ:

Собор Паризької Богоматері:

Собор Святого Сімейства в Барселоні:

Сіднейський оперний театр: