Килими нескінченності

Подивилися дикі стріми? Час переключитися на другу програму нашого новорічного телевізора. Редакція пропонує зануритися в споглядання нелюдської краси фракталів, утворених кордоном безлічі Мандельброта на комплексній площині.

Розгорніть відео нижче на повний екран і відправляйтеся:

Якщо вам захотілося дізнатися, що саме ви бачили, то ось невелика розповідь про фракталів (а якщо ви не хочете читати, промотайте текст, нижче ще багато краси).

Часто під фракталами розуміють самопідібні структури - такі, чия навіть найменша деталь відтворює їх вигляд в цілому і навпаки. Найвідоміший приклад такого фракталу - «серветка Серпинського», трикутник, що розбивається на три своїх копії з удвічі меншою стороною і так до нескінченності. Але це тільки один з типів фракталів. Більш загальне (і нестроге) визначення фракталу свідчить, що це безлічі, у яких «є нетривіальні деталі на скільки завгодно дрібному масштабі».

Уявіть собі, що ви роздивляєтеся на карті берегову лінію, поступово зменшуєте масштаб, але які б все більш дрібні і дрібні деталі ви не бачили, берег не стає «простішим», на ньому як і раніше видно миси і затоки. Це буде повноправний фрактал, навіть якщо малюнок у міру збільшення не відтворює сам себе, а змінюється. Потрібно лише, щоб він залишався досить складним.

Дослідник і популяризатор фракталів Бенуа Мандельброт дав таке формальне визначення: фрактал - це безліч, чия хаусдорфова розмірність відрізняється від його топологічної розмірності.

Найзнаменитіший фрактал утворює межу безлічі Мандельброта, названу так Адріаном Дуаді і Джоном Хаббардом. Це не самопідібний фрактал, він не відтворює сам себе буквально, але при цьому є «продуктом» самопідібного фракталу, утвореного безліччю Жюліа. І зараз саме час на них подивитися:

Виникає безліч Жюліа так: для функції від комплексної змінної, наприклад, квадратичного багаточлена () = 2 ⁺, можна взяти якусь початкову точку 0 _і почати з неї послідовність ітерацій: 0, 1 ₌ (0)_, 2 ₌ (1)_... Для якихось точок 0 _- наприклад, для занадто великих за модулем - послідовність n тікає на нескінченність. Для інших - залишається обмеженою. Ті точки 0, для яких послідовність обмежена, і утворюють заповнену безліч Жуліа. При деяких значеннях (наприклад, при занадто великих за модулем) безліч Жуліа розпадається: воно складається з не пов'язаних один з одним великих частин, кожна з яких розпадається на не пов'язані один з одним частини поменше, і так далі. Виходить так званий канторовий пил.

Так от, безліч таких, при яких розпаду відбувається, і безліч Жюліа залишається зв'язковим, і називається безліччю Мандельброта. Неочевидна теорема, доведена Фату і Жюліа в 1919 році, стверджує, що зв'язність безлічі Жюліа рівносильна тому, що на нескінченність не тікає одна конкретна точка 0 ₌ 0. Тому часто безліч Мандельброта визначають так: це безліч тих, при яких послідовність n, вказана за правилом 0 = ₀, n + ₁ = n₂ ⁺, при = 0, 1, 2... не тікає на нескінченність. І ось так виглядає безліч Мандельброта, якщо всі його точки пофарбувати в чорний, а всі точки поза ним залишити білими:

Однак найчастіше білий простір поза кількістю зафарбовують в різні кольори залежно від того, наскільки швидко послідовність _n в цій точці тікає на нескінченність. Є безліч сайтів, де ви можете вибрати свій варіант розмальовки, наприклад такий: Mandelbrot Viewer, а якщо ви володієте програмуванням, то відповідні інструменти чекають вас у блозі математика Іллі Щурова: Малюємо Мандельброта за допомогою Python і Numpy. Є способи додати різноманітності: наприклад, враховувати при розмальовуванні не тільки номер, при якому модуль n стає досить великим (скажімо, 5 або 10), але і сам цей модуль (про який можна думати, як про «радіус»), за рахунок чого колірна розмальовка стає безперервною, а також «кут» (який аргумент буде у цього n₎.

Дивіться, що виходить:

Безліч Мандельброта цікаво тим, що в ньому, з одного боку, можна при збільшенні побачити його копії, а з іншого, у деяких граничних точок - точок Мізюревича - безліч Мандельброта починає нагадувати відповідний безліч Жюліа. І цю розповідь правильно завершити словами Адріана Дуаді, що пов'язують комплексну площину динаміки з площиною параметрів: «Потрібно спочатку зорати площину динаміки, щоб потім зібрати врожай в площині параметрів».

А тепер можна зануритися в нелюдську красу математики: