Завдання від Pythagoras Magazine: чи зможете ви вирішити їх?

«ПМ» пропонує вирішити три обрані завдання зі збірки Pythagoras Magazine - всесвітньо відомого журналу про цікаву математику.

Найвідоміша в світі теорема носить ім'я грецького мислителя Піфагора. А ще на честь нього названо знаменитий голландський журнал, присвячений цікавій математиці - Pythagoras Magazine. До п'ятдесятиріччя журналу було видано збірку кращих загадок, головоломок і завдань англійською мовою, три з яких ми і пропонуємо вирішити вам. Удачі!

1. Завдання про мішок доларів

У мішку лежить 26 доларових купюр номіналом 1, 2 і 5 доларів. Відомо, що якщо ви будете витягувати купюри по одній, не дивлячись, то, витягнувши 20, ви витягнете як мінімум 1 однодоларову купюру, дві дводоларових і п'ять - по п'ять доларів. Питання: скільки грошей у мішку?

Рішення:

Припустимо, що в мішку a банкнот з номіналом 1 долар, b дводоларових купюр і c п'ятидоларових. Всього в мішку 26 купюр, тому витягнувши 20, ми залишимо всередині 6. Якщо, залишивши в мішку шість купют, ми напевно витягнемо з нього хоч одну однодоларову, значить

a ≥ 6 + 1

Розмірковуючи таким же чином, отримуємо ще дві нерівності:

b ≥ 6 + 2;

c ≥ 6 + 5,

а всього в мішку, як відомо, 26 банкнот. Взявши мінімальні значення a, b і c, отримаємо 7, 8 і 11, а в сумі - 26. Підставивши номінали, ми дізнаємося, скільки грошей у мішку: 7*1 + 8*2 + 11*5 = 78.

Відповідь: у мішку 78 доларів.

2. Задачка про Інь і Ян

Символ даосистської концепції Інь і Ян складається з двох ось таких фігур. Площа фігури обмежена трьома напівкружинами. Як радіти цю фігуру на дві однакові?

Відповідь:

3. Завдання про величезний пиріг

Величезний пиріг розділили між сотнею гостей. Перший гість отримав 1% цілого пирога, другий - 2% того, що залишилося, третій - 3% того, що залишилося після перох двох гостей, і так далі. Останній гість отримав 100% того, що залишилося після 99-го гостя. Чий шматок пирога виявився найбільшим?

Рішення:

Якийсь з гостей з номером k відріже собі шматочок від деякої частини пирога x. Його для складе x, помножене на (k/100). Від пирога залишиться x - x (k/100) = x (100-k )/100. Наступний гість k + 1 отримає шматок пирога, рівний x, помножене на ((100-k )/100) ((k + 1 )/100).

Виходить, що гість k + 1 отримає більше, ніж гість k, якщо (100-k )/100) ((k + 1 )/100) > k/100. Розкривши дужки і навівши подібні, отримаємо нерівність - k2 - k + 100 > 0. Воно правильне для k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 і 9. Виходить, що порція буде рости для гостей з 1 по 9, а з десятого гостя почне зменшуватися.

Відповідь:

Найкраще бути десятим гостем - він отримає найбільший шматок пирога.